Курс лекций по математике 1 курс спо: Математика конспект лекций 1 курс спо

Содержание

Конспекты лекций СПО по математике 1 курс

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Губернский колледж г.Сызрани»

Технический профиль

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

(тезисы лекций/СПО/ 1 курс)

Преподаватель Барабанова Л.Н.

РАССМОТРЕНО ОДОБРЕНО

на заседании ПЦК Методическим советом

естественнонаучного цикла технического профиля

Протокол № ___ ГБОУ СПО «ГК г. Сызрани»

от «___» _________ 2014 г. протокол № ____ от «____» 2014 г.

Председатель _________________

Барабанова Л.Н. Методист ___________

Барабанова Л.Н.

Преподаватель ___________ Барабанова Л.Н.

Методические рекомендации для студентов СПО 1 курса разработаны преподавателем для использования их при самостоятельном изучении

материала по математике.

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора

Руководитель технического профиля

_____________ В.В. Колосов

ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ»

План лекции.

  • Определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

  • Радианная мера угла. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

  • Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений.

  • Формулы приведения.

  • Формулы сложения.

  • Формулы двойного угла.

  • Формулы половинного угла. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 1 – 10, страница 88 – 91.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 1, пункт 1.

ТЕМА : « ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ».

План лекции.

  • Тригонометрические функции и их графики.

  • Функции и их графики.

  • Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций.

  • Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

  • Исследование функций.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 10 – 15, страница 91 – 92.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 1, пункт 2. § 2, пункт 3, 4, 5, 6.

ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ».

План лекции.

  • Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

  • Решение простейших тригонометрических уравнений.

  • Решение тригонометрических уравнений.

  • Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 22, 23, 24, страница 93 – 94.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 3, пункт 8, 9, 11.

ТЕМА: «ПРОИЗВОДНАЯ».

План лекции.

  • Приращение функции

  • Понятие о производной.

  • Правила вычисления производных.

  • Производная сложной функции.

  • Производные тригонометрических функций.

  • Примеры вычисления производных.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 1 – 3, страница 166.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 4, пункт 12, 13, 15,16, 17.

ТЕМА: «ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ».

План лекции.

  • Метод интервалов.

  • Касательная к графику функции.

  • Производная в физике и технике.

  • Признак возрастания (убывания) функции.

  • Критические точки функции, максимумы и минимумы.

  • Применение производной к исследованию функции.

  • Наибольшее и наименьшее значение функции.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 4, 5, 9, 10, 11, страница 167 – 168.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 5, пункт 18, 19, 21, § 6, пункт 22, 23, 24, 25.

ТЕМА: «ПЕРВООБРАЗНАЯ»

План лекции.

  • Определение первообразной.

  • Основное свойство первообразной

  • Правила нахождения первообразных.

  • Площадь криволинейной трапеции.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 1 – 4, страница 199 – 200.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 7, пункт 26, 27, 28, § 8, пункт 29.

ТЕМА: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ».

План лекции.

  • Корень n – степени и его свойства.

  • Иррациональные уравнения.

  • Степень с рациональным показателем.

  • Показательная функция.

  • Решение показательных уравнений.

  • Решение показательных неравенств.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 1 – 5, страница 261 – 262.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 9, пункт 32, 33, 34, § 10, пункт 35, 36.

ТЕМА: «ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ».

План лекции.

  • Основные свойства логарифмов.

  • Логарифмическая функция.

  • Решение логарифмических уравнений.

  • Решение логарифмических неравенств.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 6 – 9, страница 262 – 263.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 10, пункт 37, 38, 39.

ТЕМА: «ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ».

План лекции.

  • Производная показательной функции.

  • Первообразная показательной функции.

  • Производная логарифмической функции.

  • Степенная функция и ее производная.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. Вопросы № 10 – 12, страница 263 – 264.

Литературные источники.

Учебник: Алгебра и начала анализа 10 – 11. Колмогоров А.Н. М. Просвещение, 2005г. § 11, пункт 41, 42, 43.

ТЕМА: «ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ».

План лекции.

  • Аксиомы стереометрии.

  • Следствия из аксиом стереометрии.

  • Параллельные и скрещивающие прямые в пространстве.

  • Параллельность прямых и плоскостей.

  • Изображение пространственных фигур на плоскости.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

Вопросы 1 – 5, страница 237. Вопросы 1, 2, 5, 7, 12.

Литературные источники.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

§ 15, пункт 130 – 133, § 16, пункт 136 – 139, 142.

ТЕМА: «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ».

План лекции.

  • Перпендикулярность прямых.

  • Перпендикулярность прямых и плоскостей.

  • Перпендикуляр и наклонная.

  • Перпендикулярность плоскостей.

  • Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

Вопросы 1, 3, 7, 8, 9, 11, 15, страница 263.

Литературные источники.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

§ 17, пункт 143 – 150.

ТЕМА: «МНОГОГРАННИКИ».

План лекции.

  • Многогранники.

  • Призма. Прямая призма

  • Изображение призмы и построение ее сечений.

  • Параллелепипед.

  • Прямоугольный параллелепипед.

  • Пирамида. Правильная пирамида.

  • Правильные многогранники.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

Вопросы 1 – 9, 11 – 12, 15 – 17, 19, 23, 24, 27, 32, 33, 34, 36, стр 311.

Литературные источники.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

§ 19, пункт 166 – 172, 174, 176, 178 – 180.

ТЕМА: «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ».

План лекции.

  • Цилиндр.

  • Конус.

  • Шар.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

Вопросы 1 – 3, 6 – 8, 10, 12 – 13, страница 333.

Литературные источники.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

§ 20, пункт 181, 184, 187.

ТЕМА: «ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ».

План лекции.

  • Понятие объема.

  • Объем прямоугольного параллелепипеда.

  • Объем наклонного параллелепипеда.

  • Объем призмы.

  • Объем пирамиды.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

Вопросы 1 – 9, страница 349.

Литературные источники.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

§ 21, пункт 194 – 200, 174.

ТЕМА: «ОБЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ».

План лекции.

  • Объем цилиндра.

  • Объем конуса.

  • Общая формула для объемов тел вращения.

  • Объем шара.

  • Объем шарового сегмента и сектора.

  • Площадь боковой поверхности цилиндра.

  • Площадь боковой поверхности конуса.

  • Площадь сферы.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

Вопросы 1 – 9, страница 360.

Литературные источники.

Учебник Геометрия 7 – 11. Погорелов А.В. М. Просвещение. 2005 г.

§ 22, пункт 202 – 210.

Учебно-методический материал: Лекции по математике для студентов 1 курса медицинского колледжа по специальности «Лечебное дело»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Планирование к рабочей программе по дисциплине «Химия» для 1 курса медицинского колледжа

Данное планирование соответствует рабочей программе учебной дисциплины «Химия» составленной на основе примерной программы (авторы: Габриелян О.С., Остроумов И.Г) и предназначенной для изучения химии в…

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЕ I курс (Медицинский колледж)

Рабочая программа учебной дисциплины «Физическая культура» разработана на основе Федеральных государственных образовательных стандартовпо специальности среднего профессионального образования 060501 «С…

Организация индивидуальной самостоятельной работы студентов в медицинском колледже

Статья посвящена актуальной теме организации самостоятельной работы студентов. Основное внимание уделено использованию индивидуальной самостоятельной работысоставленной с учетом степени труд…

Пример лекции по математике для студентов 2 курса

Представлен пример лекционного материала по математики для студентов 2 курса…

Применение инновационных технологий в проектной деятельности студентов 1 курса медицинского колледжа.

Применение инновационных технологий в проектной деятельности студентов 1 курса медицинского колледжа.

Данная статья о новых технологиях, применяемых по проектной деятельности по химии на 1 курсе медицинского колледжа…

Рабочая тетрадь по биологии с основами экологии за 1 семестр 1 курса медицинского колледжа

Рабочая тетрадь представляет собой задания по каждому разделу программы за 1 семестр для студентов 1 курса Акушерского колледжа….

Курс лекций по математике для 1 курса

ГБОУ СПО Калязинский колледж им.Н.М.Полежаева 3 Рассмотрено на П(Ц)К    «___»________2014 г.     Руководитель   П(Ц)К   _____________________ И.С. Пахтанова ОДОБРЕНО Зам. директора по УР   А.Ю.Кудрявцев «___»________2014г. __________________ УТВЕРЖДАЮ Директор  ГБОУ СПО   М.Г.Клементьева «___»________2014г. __________________ КУРС ЛЕКЦИЙ по дисциплине Математика для студентов 1 курса  НПО специальности  «Повар, кондитер» Разработчик: преподаватель                                               Н.В.Старикова                         математики Калязин, 2014 СОДЕРЖАНИЕ 4 Раздел 1. Линейная функция, её свойства и график. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств. Раздел   2.  Квадратичная   функция,   её   свойства   и   график.   Решение квадратных уравнений и неравенств. Метод интервалов. Раздел   3.  Функция   вида   у   =   х функция, её свойства и график. к ,   её   свойства   и   график.   Степенная Раздел   4.  Степени   и   логарифмы.   Алгебраические   преобразования   Решение Решение   показательных   и   логарифмических   уравнений. показательных неравенств. Раздел   5.  Тригонометрические   функции   и   их   свойства.   Формулы тригонометрии и их следствия. Раздел 6.  Производная функции. Приложение производной к решению задач. Раздел 7. Приложение определенного интеграла к решению задач. Раздел 8. Геометрические фигуры и их свойства. Раздел 9. Геометрические тела и их свойства. 5 Пояснительная записка Курс лекций по дисциплине Математика для студентов1 курса   специальности  260807­Технология продукции общественного питания  включает краткие теоретические сведения по следующим темам: 1. Функции, их свойства и графики; 2.  Свойства степени и логарифмов; 3. Алгебраические преобразования; 4. Решение линейных уравнений и неравенств; 5. Решение квадратных уравнений и неравенств; 6. Решение систем линейных уравнений и неравенств; 7.   Решение   показательных   и   логарифмических   уравнений.   Решение показательных и логарифмических неравенств; 8. Тригонометрические преобразования; 9. Решение простейших тригонометрических уравнений; 10. Производная функции. Приложение производной к исследованию и построению графиков функций; 11. Приложение определенного интеграла к решению задач. 12. Свойства и площади плоских фигур; 13. Свойства, площади поверхностей и объемы многогранников; 14. Свойства, площади поверхностей и объемы круглых тел; Также в курсе лекций представлены основные формулы, упражнения с решениями, задачи для самостоятельного решения. 6 Объем   материала,   и   уровень   сложности   соответствует   требованиям учебной   программы   к   знаниям,   умениям   и   навыкам   по   математике учащихся, окончивших 9 классов общеобразовательной школы. РАЗДЕЛ 1 Линейная функция, ее свойства и график. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств 1.1. Линейная функция у = кх + в, ее свойства и график. Определение: Функция вида у = кх +в, где к и в действительные числа называется линейной функцией. к ­ угловой коэффициент, в ­ свободный коэффициент к  tg                                               ­ угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ b ) Для построения графика необходимы две точки А(0; в) и В (­ k Если угловой коэффициент положительный, то угол наклона прямой к оси ОХ острый, если угловой коэффициент отрицательный, то угол наклона прямой к оси ОХ тупой. Свойства линейной функции 1. Область определения функции любое действительное число. 2. Область значений функции любое действительное число. 3. Возрастает, если  к 0 , убывает, если  к   0 .  Не является монотонной, если  к = 0 4. Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная. b . 5. Корень функции х = ­ k 6. Графиком функции является прямая. y = ­ kx + b 7 x = ­  y y = ­kx b  y = kx +b  X 1. 2. Функция вида у = кх, ее свойства и график. Графиком  функции является прямая, проходящая  через начало  координат О (о;о). Для построения графика достаточно двух точек   А (1; к) и О ( 0; 0). Свойства функции y=­kx и у=kх 1.Область определения функции х любое действительное число. 2.Область значения функции у любое действительное число. 3.Функция нечетная.      y 4. Возрастает, если к 0 , убывает, если к 0 5. Корень функции х = 0.  .                                                                                                                                0                          х Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график У = 2 х – 4. Решение: 1. Область определения х ­ любое действительное число. 2. Область значений у ­ любое действительное число. 3. У (­ х) = 2 (­ х) – 4 = ­ 2 х – 4 ­ функция общего вида. 4. Корень функции х = 2. 5. Функция возрастает на всей области определения. 6. Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; ­ 4)  (2; 0). у                                                                                            у = ­ 8х у = 2х ­ 4     о 2  ­ 4  х 8 у  0            ­8              х Рис. к примеру 1                                                     Рис. к примеру 2 Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график У = ­ 8 х . Решение: 1. Область определения х – любое действительное число. 2. Область значений у – любое действительное число. 3. у (­ х) = ­ 8 (­ х) = 8 х функция четная , значит ее график симметричен  относительно начала координат. 4. Корень функции х = 0. 5. Функция убывает на всей области определения 6. Графиком функции является прямая, проходяший через начало  координат. 9 2. Решение линейных уравнений и неравенств. Определение  Уравнение   вида  ах   +   в   =   0  называется     линейным уравнением. Решить линейное уравнение – это значит найти его корни или доказать, что их нет. Корень   уравнения   –   это   такое   число,   при   подстановки   которого   в уравнение оно обращается в верное равенство. Корень линейного уравнения: х = ­  a b , если a 0  и b 0  или a 0 b , если a 0  и b 0  и b  0  или a  0  и b 0 , . х =  a Во всех случаях решение более сложных линейных уравнений сводится к простейшему.  5x 4 10 x 1  2 7  5(7 Пример 3. Решить уравнение  Решение: 1. Наименьший общий знаменатель двух дробей 14 2. Дополнительный множитель первой дроби 7, второй дроби 2 3. Уравнение приводим к виду  4 Умножаем обе части уравнения на 14 5. Решаем уравнение 35х – 28 = 20 х + 2 35х – 20х = 2 + 28 15х = 30 х = 30 : 15 х = 2 Ответ: х = 2  x 14 x 14 10(2  )1 )4    Неравенства вида ax + b 0 , ax + b 0 , ax + b 0 , ax +  b 0  называются линейными   неравенствами.   Решить   неравенство   –   это   значит   найти множество   его   решений.   Решение   неравенства   –   это   такое   число,   при подстановки   которого   в   неравенство   оно   обращается   в   верное   числовое неравенство. Основные свойства неравенств. 1. Если  a b ,  то a ­  b  0  и b a . 10 2. Если a b ,  то a – b  0  и b  a . 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменяется на противоположный. 4. При переносе числа из одной части неравенства в другую знак числа изменяется на противоположный. 5. Минус, стоящий перед дробью означает то же самое, что и минус, стоящий   перед   скобками,   то   есть   в   ходе   преобразований   знак   каждого слагаемого, стоящего в числителе дроби, изменяется на противоположный. 6. Обе части неравенства можно возводить в одну и ту же натуральную степень, при условии, что правая и левая части положительны. Множество   решений   неравенства   изображается   на   числовой прямой. Для неравенства строгого знака (  или   ) точки на оси светлые, а  для неравенств нестрогого знака (  или  ) точки на оси темные. Пример 4. Решить неравенство  2 получаем неравенство вида  2 x  5 x 20   x 1 .   1 5 3 1   4 x 1  x 5  x 5 3 5 Решение: 1. Приводим обе части неравенства к общему знаменателю и 2.   Приводим   подобные   слагаемые   в   числителях   каждой   из   дробей   и умножаем обе части неравенства на 5, число 5 положительное, поэтому знак неравенства  не изменится.  Получаем  неравенство  вида:  2x  – 21   , 1 решая это неравенство, получаем 0 20 , НЕРАВЕНСТВО РЕШЕНИЙ НЕ ИМЕЕТ, так как обратилось в неверное числовое неравенство. 2   x Пример 5. Решить неравенство  5  x 6 x 7  2  2  7 11 Решение: 1. Приводим обе части неравенства к  общему знаменателю 42, (6 )7  5(7  x 42 тогда неравенство имеет вид:  )2  2 .  x 42 2. Умножаем обе части неравенства на 42 , число 42 положительное, значит, знак неравенства не изменится. Получаем неравенство вида 35x – 49 – 6x – 12  84 3. Приводим подобные слагаемые, получаем 29х   145 . Разделим обе части неравенства на 29, число 29 положительное, значит, знак неравенства не изменится. 145 4. Получаем х 29   или х  5 . 12 5. Изображаем решения неравенства на числовой прямой.                                            х                                                             5 Ответ: х  5 3. Решение систем линейных уравнений и неравенств Определение: Система уравнений вида: a1x + b1y = c1                              называется линейной системой двух уравнений с двумя  a2x  +  b2y  =  c2 неизвестными.   Действительные   числа  a  1  ,  b1   ,  a2     ,  b2 называются коэффициентами  при неизвестных, числа с1,  с  2  –свободными коэффициентами.   Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что их нет. Методы решения: 1. Метод подстановки 2. Метод алгебраического сложения. 3. Графический метод. Если   в   системе   уравнений   коэффициенты   при   неизвестных   х   и   у пропорциональны, а свободные коэффициенты не равны нулю, то система решений   не   имеет.   Если   же   коэффициенты   при   неизвестных   х   и   у пропорциональны,   а   свободные   коэффициенты   равны   нулю,   то   система имеет бесконечное множество решений.  Пример 6: Решить систему уравнений                                                                                    Х + у       х ­ у                                                                                    ­­­­­­­­ + ­­­­­­­­ = 6     ( 1 ) 2          3                                                                                            ­­­­­­­­ =  ­­­­­­­­          ( 2 ) Способ подстановки                            х + у         х ­ у Решение:   1.   Умножаем   обе   части   уравнения   (1)   на   6,   а   обе   части уравнения (2) на 12, тогда система уравнений имеет вид: 4             3 13 3 (х +у) + 2 (х – у) = 36                                                                                                                                                             3 (х + у) = 4(х – у) 2. После преобразований система имеет вид:                                                                               5х – у = 36                                                                                х – 7у = 0 4.Выражаем   из   второго   уравнения     х   и   подставляем   его   в   первое уравнение, получаем: х = 7у , 35у + у =36 или у = 1. 5.Найденное значение у подставляем в выражение для х, тогда х = 7. 6.Чтобы   исключить   вычислительные   ошибки   в   системе уравнений   рекомендуется   делать   проверку,   путем   подстановки найденных значений х и у в каждое уравнение или в то уравнение, из которого не выражали переменную х или у. Проверка:                                          7 + 1              7 – 1                                                                  ­­­­­­­­­   +    ­­­­­­­­ = 6; 4 + 2 = 6 (В) 2 3                                           7 + 1             7 ­ 1                                         ­­­­­­­­­   =    ­­­­­­­­­­          ; 2 = 2 (В)                                              4                   3 Ответ: х = 7, у = 1. Графический способ. 1. Приведем систему уравнений к виду:                                                                           у = 5х­36                                                                                 1                                                                          у = ­­­­ х                                                                                 7 2. Построим графики полученных функций и найдем координаты точки их пересечения. Чтобы   точно   найти   координаты   точки   пересечения,   необходимо 1 , отсюда х=7. Для приравнять функции друг к другу. Тогда, 5х­36 =   7 того чтобы найти значение у, необходимо найденное значение х подставить в любое уравнение системы.                                    у                        у=5х­36 х                               1 14 0                                       7       х у =  1 7 х 15 Система линейных неравенств имеет вид: а1х+b1  V 0 “V’’ ­ обозначает любой знак строго или нестрого неравенства а2 х+b2 V 0 При   решении   линейного   неравенства   возможны   следующие   виды интервалов: 1. Числовой луч                                                   с                                      х 2. Числовой отрезок                                                                        с                                          к                     х 3. Открытый интервал                                                                                                           с                                              к             х 4. Полуинтервал                                                                                                       с                                             к           х Решить систему неравенств ­ значит найти множество общих решений двух или нескольких неравенств. Множество решений системы неравенств – это   пересечение   множеств   решений   каждого   неравенства,   входящего   в систему. Если пересечения множеств нет, то система неравенств решения не имеет. Значение   переменной,   при   котором   каждое   неравенство   системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы. Для   записи   и   изображения   решения   системы   неравенств необходимо   учитывать   строгие   и   нестрогие   знаки   неравенства (строгие   знаки   обозначают   светлыми   точками,   нестрогие   ­ темными) Пример 7. Решить систему неравенств:         3 х – 18    0 16 4 х ­  12    0  Решение: 1. Приводим систему к виду:            х     6                                                                                      х     3 2. Множество решений системы имеет вид:                                                                                  3                        6                            х        Ответ:   х     6 Пример 8: Решить систему неравенств:                                                                                         2 х     16                                                                                             х    ­3 Решение: 1. Приводим систему к виду:                                                                                          х    8                                                                                                                                                                                        х    ­3 2. Множество решений системы имеет вид                                                                                                           ­ 3                             8                           х     Ответ: система решений не имеет. Пример 9: Решить систему неравенств:          2х ­ 1 3                                                                                     2х –1   ­3                                                                                                                                                                                                                                                        х    2                                                                                                 х     ­1 Решение: 1. Приведем систему неравенств к виду: 2. Множество решений системы неравенств имеет вид:                                                                                                       Ответ: ­1   х   2. 17 ­ 1                            2                           х Во   всех   случаях   сложные   неравенства   приводятся   к   простым неравенствам. 18 Самостоятельная работа № 1. Тема: Решение линейных уравнений и неравенств и их систем 1. Построить графики функций: а) у = 2 х = 4,б) у = 2 х – 4, в) у = ­ 2 х + 4, г) у = ­ 2 х – 4, д) у = 2 х, е) у = ­ 2 х. 2. Решить уравнения:                                           3. Решить неравенства: а) 3(х+1)(х+2)­(3х­4)(х+2) = 36                       а)  2 6 3 х  х 4 х 4  2 б) 2(3х­1)(2х+5)­6(2х­1)(х+2) = 48 б)  в)  г)  3 х 2  х 8 4  х 6 5 2 х 9 10   13  1                                                       в) 5х + 1  44 4                                                          г)  х х 8 1  2х 5   4  31 5 х  х д) 5  у 2 4 16   1 у 7                                                       д)   (2 х  3)1  х  3 х 2  1  2 х  х  25 12 х  34 8 х   91 5 )5  2 14 е)  х х ж)  2 з)   х 3  8  х ( 11 3( 2  3 ) 0                                                     е)5 (х­1) – 3   6 (х + 2)                                                          ж) 2х –3   7х – 2 (х – 3)  х )  3 3 8                                                       з) 2 (х­ 2) (2 + х )  19 – (2 х – и)   23 6 х 2  8  х 9 к)  5 х  6 7  2 4  х 7  2                                                  к)  5  2  х 4 х  23 5  1 4. Решить системы уравнений (графически и аналитически): а)      3х + у = 8                б)    2 х = ­у + 5             в)   10 х + 8 у = ­ 11   г)    3 х +2у = 5          3х – у = ­ 2                     2 х – 3 у = ­ 7                  2 х + 2 у = ­ 3            4 х + 3 у = 6 5. Решить системы неравенств а)      5 х – 2  6 х + 1                                      б)    7(х+1) – 2 х           4 – 3 х                                                 3 (5 – 2 х) – 1  2   х 6 9  х4   х54  19 в)     12 у – 3 (у + 2)  7  у 5                    г)   4         13 у + 6   (у – 5) 2 + 3                                х 7  5 6 х 5 3  х   1  4 14 8 3  х 2 д)       5 х – 4    х – 3                                    е)          3   х     5 – 6 х          ­ 2 х +11   х + 1                                              ­ 3 х + 1   4 х – 1           12 – 3 х     4 – 5 х                                            7 – 2 х    2 х + 9   20 Квадратичная функция у = а х 2  + вх + с. Решение квадратных уравнений и неравенств. Метод интервалов Раздел 2. 1.   Определение:  Функция   вида   у   =   а   х  2  +   в   х   +   с   называется квадратичной   функцией.   Графиком   такой   функции   является   парабола   с вершиной в точке с координатами: в 2 , у0 = у (х 0). Точки пересечения графика с осями координат х  0  = ­  а , с осью находятся по формулам: с осью абсцисс (О х) : х 1,2 = ординат (Оу) у = у (0) = с. 2  в а 2  ас 4 в Выражение    D  =  b2  –   4ac  называется   дискриминантом   и   может принимать следующие значения: 1.  D  = 0 (парабола пересекает ось Ох в одной точке)  в  у                                        хо = ­ а 2                                    2. D  0  (парабола пересекает ось Ох в двух точках):       х1 =  в  a 2 D , х 2  D  в  2 a   С                                 3. D   0 (парабола не пересекает Ось Ох и лежит в первой или                х0                   второй координатных четвертях, если первый коэффициент                                  х         положительный, в третьей и четвертой – если первый  у0    х1          х2                 коэффициент отрицательный)           график квадратичной функции для 1 и 2 значений дискриминанта в 4 ас 2.   Определение:  Уравнение   вида    а   х2  +   вх   +   с   =   0  называется квадратным. Корни квадратного уравнения находятся по формуле:  х  1,2  =  , где D = b2 – 4ас. Если D = 0, то уравнение имеет один корень 2  в 2 а в х = ­ а 2 . Если D  0 , то уравнение имеет два корня: х1 =  Если D   0, то уравнение действительных корней не имеет D  в  2 a  2 a  D в , х 2 3. Неполные квадратные уравнения. 21 1.а х  2  + вх = 0 , с = 0  .Уравнение  такого   вида  решается  методом вынесения общего множителя за скобки и приведения  к двум линейным уравнениям вида: в . х = 0, х = ­  а 2.ах2 + с = 0 , в = 0.Уравнение такого вида приводится к простейшему квадратному уравнению х2 = ­ а с  и имеет решение при с   0 или а  0 . 3.ах2 = 0 ,с = 0, в = 0. Приводятся к виду х2 = 0 и имеют один корень х = 0. 4.х2 = к, а = 1 имеет корни вида х  1,2 = к  и имеет решение только в случае положительного значения к. 4. Приведенные квадратные уравнения. Квадратное уравнение вида  х2  + р х +  q  = 0  называется приведенным квадратным уравнением. Корни такого уравнения находятся по формуле: х  1,   2  =    р 2 2 р 4 (дискриминанте).   q   при   неотрицательном   подкоренном   выражении Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по теореме Виета. Теорема:   Сумма   корней   приведенного   квадратного   уравнения равна второму коэффициенту (р), взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному коэффициенту ( q ). х 1 +х 2 = ­ р , х 1 х 2 = q . 5.Разложение квадратного трехчлена на множители. у   =   ах2  +вх+с   =   а(х   –   х1  )(   х   –   х2),где   х1  и   х2  –корни   квадратного трехчлена, которые находятся по формуле корней квадратного уравнения при условии, что у = 0. 6. Выделение полного квадрата. в 2  , у0 = у (х0). у = ах2 +вх +с = а(х – х0)2 + у0 , где х0 = ­  а 7. Решение квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним. 22 Пример 10: Решить уравнения а) 3х2 –2х –1 =0, б) х2 – 2х –3 = 0, в) х4 – 7х2 – 12 = 0,  г)  3  4  х 3  3 х 2 Решение: а) корни уравнения находим по формуле х 1,2  = где а = 3,   в 2  в а 2 4 ас , 1 3 , в = ­ 2, с = ­ 1, отсюда х 1 = ­ 2 х 1 б) по теореме Виета х1 + х2 = 2, х1  в) х2 = к 0 ,тогда уравнение имеет вид: к2 – 7 к + 12 = 0,его корни к1 = , х2 4,к2 = 3, оба корня удовлетворяют решению х2 = 4, отсюда х 1, 2 = =3,отсюда х 3,4 =  , тогда х1 = ­ 1, х2 = 3 4  2 х 3 . 3 . 2 г) 1. Находим область допустимым значений переменной х:        х + 2  0        х – 3   0 , отсюда х   ­ 2,  х   3. 2.   Перенесем   все   слагаемые   в   одну   часть   и   приведем   к   общему знаменателю. О.З. (х + 2) (х – 3), дополнительный множитель первой дроби (х – 3), второй (х + 2), третьей (х + 2) (х – 3). 3. После преобразований уравнение имеет вид:  3 2 х  х  2  2 х   х 1  3  0 . Умножать обе части уравнения на общий знаменатель нельзя! Поэтому   учитывая   область   допустимых   значений   переменной   х, рассматриваем числитель 3 х 2 – 2 х – 1 = 0, так как знаменатель дроби не может   быть   равным   нулю.   Корни   числителя   будут   являться   корнями уравнения: х1 = ­ 2 х 1 . , 1 3 8. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов. Суть   метода   состоит   в   том,   чтобы   определить   промежутки знакопостоянства множителя, который содержит квадратный трехчлен. Для этого необходимо  1. Найти корни квадратного трехчлена, 2.   Нанести   эти   корни   на   числовую   ось,   с   учетом   знака   самого квадратного неравенства, 23 3. Разложить квадратный трехчлен на множители, 4.Определить знаки каждого множителя и всего произведения, 5.   Выписать   в   ответ   интервалы   соответствующие   знаку   квадратного неравенства. Пример 11. Решить неравенство 2х2 + 3 х­ 2    0 Решение 1. Находим корни квадратного трехчлена 2 х2  + 3 х ­ 2 = 0, отсюда х1 = 0,5, х2  = ­ 2 . 2. Раскладываем квадратный трехчлен на множители 2 (х ­ 0,5) (х + 2) 0. 3.   Наносим   полученные   точки   на   числовую   ось,   с   учетом   знака неравенства, и исследуем знак каждого множителя и произведения в целом            +                      ­                        +                                                                                 х                      ­ 2                       0,5 4. Выбираем те интервалы, в которых квадратный трехчлен отрицателен Ответ: ­ 2   х   0,5. Если   квадратный   трехчлен   имеет   один   корень,   то   неравенство можно решить представив трехчлен в виде:  ха Пример 12: Решить неравенство   1  Решение: Неравенство представляем в виде  5,0 4 Если квадратный трехчлен не имеет действительный корней, то его  0х . 0 х . Откуда х 4 2 х 2  0 5,0 4 х  2   значение положительно при а    0 и отрицательно при а   0 . Пример 13: Решить неравенство  Решение: решение неравенства является любое действительное число, 6 2 х  х 4  010 так как   Dа ,0  0 9.Решение   дробно   ­   рациональных   неравенств   методом интервалов. Для решения дробно – рациональных неравенств методом интервалов необходимо числитель и знаменатель дроби разложить на множители точек. Независимо   от   того,   каков   знак   неравенства,   корни   знаменателя   не входят в область определения  дроби, поэтому точки, изображающие эти корни на числовой оси светлые. 24 2 х 12  х х   2 х 1 2 Пример 14: Решить неравенство    Находим   корни   числителя   по   теореме   Виета Решение:   1. . Тогда корни равны +   х 1 2. Корень знаменателя х = 2. 3. Раскладываем на множители   х ,4 2 ,12  0  0   3 х 2 х 1  х  х 1  3  4  х х 2 Умножать обе части неравенства на знаменатель нельзя! 25 4.   Отметим,   полученные   корни   на   числовую   ось   и   исследуем   знак каждого промежутка                                    ­                 +                ­                +                     х                                           ­3                 2                 4 Ответ: ­3    х   2, х   4. Самостоятельная работа № 2. Тема: Решение квадратных уравнений и неравенств 1.Решить уравнения: а)    1  1 2 х х    2 2  3  2 3                                              б)   х  2 3  х   2  х 2   х  2  5 3  в) х  4 х 2                                                       г) – 9х  х 42  13 0 1 д)  3  х 3  2 х  3 7 х  12  1 х   х 4                                    е) 5+ 2  х 2  17  х 3 ж)  2 х  х 6  5 0                                                        з)  2 2 х  х 3  2 0 и)  20  8 х  х 2  0                                                      к)  6 2 х  х 1 0 2. Решить неравенства: 2 2    2  3 5х                                                 б)  а) (х+15) (х + 4) 0  в)    х х 4 х 3                                                             е)  х  0                                                  з)    49 х  17х + 24                   г)   ж)    5 х 2    д) ­ 7 х х 5 х    8  2 х  2 2 2 х и)  24  х 2   х 1  0                                                   к)  2 х  х 4  2     37 – (х – 10) 2 10  4  0  2    5  3 2  2 х 3 2 3 х  2   х 25  03  х  х  2 12 0 3. Построить графики функций: а) у = 2 х 2 , б) у = х 2 ­ 5 х + 6 , в) у = х 2 ­8х –33, г) у = 2х 2 ­х – 3, д) у = 2  х10 , е) у = ­х х42  . 8х 26 Раздел 3. Функция вида у =  х к , ее свойства и график. Степенная функция, ее свойства и график 1. Определение: Функция вида у =  х к  называется функцией обратной пропорциональности   между   переменными   х   и   у.   Графиком   функции является   гипербола,   расположенная   в   первой   и   третьей   квадратных четвертях. Свойства функции: у У=К/Х 0 х 1. Область   определения   функции   х­   любое действительное число, кроме нуля. 2. Область значений функции у – любое действительное число, кроме нуля. 3. Функция   нечетная   у(­х)   =   ­ х к   =   ­   у   (х).График функции   симметричен   относительно   начала координат точки О(0;0 ). 4. Корней не имеет. 5. Положительна при х  0 , отрицательна при х 0 7. Если к   0 6. Убывает на всей области определения. , то свойства функции не изменяются, за . исключением свойства монотонности, так как в этом случае   функция   возрастает   на   всей   области определения. 2.Определение: Функция вида у = х  , где х 0 , называется степенной функцией х­основание степени, ­ показатель степени. Примеры степенных функций с натуральным показателем. 1                                    2                                        3                                                        у                  у = х 2                       у              у = х 2         у        у = х                                                  0               х                             0                     х                                 0               х 27 28 Примеры степенных функций с целым показателем. 0                                   1 2      у                                                  у       у =                                        у         у =                                    1 х 1 2 х у=1             0                  х                               0                   х                                   0                    х Примеры степенных функций с рациональным показателем. У = х 2 х 1                                         у =  х                            у=  3 1                       у= х 3 У                                 у                                         у                                 0          х                          0                х                          0      х Раздел 4. Степени и логарифмы. Алгебраические преобразования. Решение показательных и логарифмических уравнений. Решение показательных неравенств 1. Степень числа Степень   действительного   числа  a  с   натуральным   показателем  n  есть произведения n сомножителей, каждый из которых равен а. а1 = а              ;             а2 = а а             ;                аn  = а а а  ……. а                                                                                         n  раз                                                    аR, nN an    a ­ основание степени                                                  n ­ показатель степени 29 Показатель   степени   может   быть   натуральным,   целым   или   дробным (рациональным)   числом.   Иррациональные   числа   в   качестве   показателя степени не рассматриваются. Любая степень положительного числа есть число положительное. Правило знаков an    0, если а   0  и  n  R. Чётная степень отрицательного числа есть число положительное. (­а )n   0 , если n ­ чётное число. Нечётная степень отрицательного числа есть число отрицательное. (­a )n   0 , если n ­ нечётное число. Любое действительное число в нулевой степени равно единице! Нулевой показатель степени а0=1 Отрицательный показатель степени За степень с отрицательным  показателем принимается дробь, числитель которой   равен   единице,   а   знаменатель   равен   тому   же   числу,   но   с положительным   показателем   равным   абсолютной   величине   (модулю) отрицательного показателя. аn = 1 a n , если а  0. Дробный (рациональный) показатель степени Степень положительного числа с дробным показателем означает корень, показатель   степени   которого   равен   знаменателю,   а   показатель   степени подкоренного числа равен числителю дробного показателя. аn= a m n , a   0 . Свойства арифметического корня  =  а b т т , если а  0, b   0 . abт 1.  2.  3.  4.  a b n n a n b a a m n  n nm , если а   0, b   0 . m a , если, а   0 , n   2 , n   , если а  0 , N m N n m n N m N . ,  2  2   , , , . mn a 30 Действия над степенями Для   степени   с   любым   действительным   показателем,   кроме иррациональных показателей, справедливы равенства: 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  1.  1.  2.  3.  4.  5.  аnam  = an+m  an am = an­m  (an)m = anm  (ab)n = anbn        nR, mR    a  b  an  bn , если  a b a  ,0 ,  an  bn , если  a b a  , ,0    , 0 b   n n n a b 0    b 0     n N  b Алгебраические преобразования Формулы сокращённого умножения Квадрат суммы двух чисел: (a + b)2  = a2 + 2ab + b2. Квадрат разности двух чисел:  (a ­ b)2 = a2 ­ 2ab + b2. Разность квадратов двух чисел: a2 ­b2 = (a ­b) (a + b). Куб суммы и разности двух чисел: (a   b)3 = a3   3a2b + 3ab2   b3. Сумма и разность кубов двух чисел: a3   b3 = (a   b) (a2   ab + b2). Самостоятельная работа № 3 Тема: «Решение задач на свойства степени. Алгебраические преобразования». 1. В пустое место вставьте недостающее слагаемое, чтобы получился квадрат суммы или разности двух чисел. 1)  2)  3)  х2 + 2х +                                   4) а2 ­     + 6,25  4а2 + а +                                  5) с2 + 8с +        1 х2 ­ 6х +                                    6) 9 у2 ­       + 4 2х   2. Разложите на множители 1)  х2 + 2рх + р2                    3)  16х2 ­ 8ху + у2                 5)   х2у2 + 1 + 2ху 31 2) ­ 4х2 + 4х – 1                    4) ­ 3а2 + 30а – 75                6)      а4 ­ с4 + с2 ­ а2 3. Сократите дроби. 1)  3 а 2 3   27 3 а а а                              2)  2 а  2 2 4  а 8  а 4 3) 2 25 х  5 (  х 4 х 2 )                                        4)   5 3 х 2 х 2  3 х   х 1  4. Найдите числовое значение алгебраического выражения: 2 а . 2 а 2 5. Упростите выражения. 1  3 п и а р   и с 2 2 1 2 с с  2 1)     х  у х  х  у х     (  х у 22 х )2   2)    1  а 1  1  1      1  а 2 а  1   3)   а с  с а 5)      4 ас  а с  4 2 у                               4)  х 3 3                                       6) 3 3 3 а х  6 3 х у 3  6 х  6. Представьте в виде степени числа с выражения : 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  6.  1)  с2   с3 с­2 с3 : с4 ( с с2 )3 ( с4 : с3 ) с с5 : ( с2 : с ) 1 : с5  с­2 с3 : с4  ( с2 с4 с6 ) ( с­3 : с )  ( с­1 с­3 )­1  ( с2 )­2   с6 с6  Представьте число в виде : с  ап , где п , а ­ натуральные числа.  5 3                                 2) 2 3   = 3 3) 24 729                              4)  1 2 3  = 32

Конспект урока для СПО на тему «Введение в курс математики.» по структуре Зайцевой.

Разработка учебного занятия

По дисциплине: Математика: алгебра, начала математичского анализа и геометрия.

Для специальностей: 38.02.07 , 38.02.01, 08.02.09 ,23.02.03.

Преподаватель Бойко А.И.

2017 г.

План занятия

Дата 2.09.17 Группа Ам-11, Бу-11, Ба-11, Э-12

Учебное занятие № 1

Тема: Введение в курс математики.

Тип занятия: комбинированный

Цель : 1. Пoвтoрить и oбoбщить знaния пo теме «Мaтемaтикa в нaуке, технике, экoнoмике, инфoрмaциoнных технoлoгиях и прaктическoй деятельнoсти»; системaтизирoвaть пoлученные знaния.

Обучающийся должен:

— знать понятия математики в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

Задачи : Создать ситуацию для проявления интереса к мaтемaтике путём введения рaзных видoв зaкрепления мaтериaлa: устнoй рaбoтoй, рaбoтoй с учебникoм, рaбoтoй у дoски, oтветaми нa вoпрoсы и умением делaть сaмoaнaлиз, сaмoстoятельнoй рaбoтoй; стимулирoвaнием и пooщрением деятельнoсти учaщихся.

Вид занятия : лекция с практичесими заданиями.

Методы обучения: лекция , работа с книгой, беседа .

наглядные : демонстрация наглядных пособий .

практические : решение задач.

проблемные : ситуации .

Формы организации

Учебной работы: групповая, инвидидуальная.

Дидактические

Средства обучения: натуральные образцы, сборники до-

кументов, учебные пособия, раздаточный материал,наглядные пособия (карточки с индивидуальным заданием).

Контроль 3 и У: проверочная работа и устный опрос.

Задание на дом (CPC): выполнить задание:читать конспект, подготовить сообщение.

Ход занятия:

  1. Организационный момент.

Здравствуйте, студнты. Садитесь. Меня зовут Бойко Анна Игоревна, в вашей группе я буду вести предметы по десциплинам Математика и Информатика. Курс математики составляет 234 часа, в который входят четыри больших раздела: алгебра, начала математического анализа, геометрия, теория вероятности. В конца первого и второго семестра экзамен в виде контрольной работы.

— перекличка;

— отметить отсутствующих;

— проверка готовности студентов к уроку – наличие тетрадей и ручек.

Организация внимания – «Внимание на меня!»

  1. Новая тема: Введение в курс математики.

1.Теoретическaя чaсть.

Математика является одной из самых древних наук. Слово математика присходит от греческого слова «матема», что означает знание. Зарадилась математика на заре человеческой цивилизации под влиянием патребностей практики. Строительство, изменнение площадей земельных участков, навигация, торговые расчеты, управление государством требовали умения производить арифметические вычисления и определенных геометрических знаний.

В результате многовековой трудовой деятельности людей возникли основные абстрактные математические понятия, такие как число, геометрическая фигура, функция, производная, интеграл и т.д. За свою историю математика превратилась в стройную дедуктивную науку, представляющую мощный аппарат для изучения окружающего нас мира.

В истории развития математики выделяются несколько периодов, которые отличатся как предметом, так и методами научного исследования:

1. Зарождение математики. (до VI-Vвв. до н. э.) Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.

2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века. Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметических вычислений, способов определения площадей и объёмов и тому подобного возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематического развития её основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математической науки, в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает чисел теория. Создаётся систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте.

3. Период создания математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“. С 17 века начинается существенно новый период развития математики. Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление.

Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, дипроизводной, дифференциала и интеграла.

4. Современная математика. Все созданные в 17 и 18 веках разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 веках. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 века и в начале 19 века в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.

2. Математика в профессии.

Мaтемaтикa игрaет вaжную рoль в естественнo-нaучных, инженернo-технических и гумaнитaрных исследoвaниях. Oнa стaлa для мнoгих oтрaслей знaний не тoлькo oрудием кoличественнoгo рaсчетa, нo тaкже метoдoм тoчнoгo исследoвaния и средствoм предельнo четкoй фoрмулирoвки пoнятий и прoблем. Без сoвременнoй мaтемaтики с ее рaзвитым лoгическим и вычислительным aппaрaтoм был бы невoзмoжен прoгресс в рaзличных oблaстях челoвеческoй деятельнoсти.

Мaтемaтикa предстaвляет сoбoй oснoву фундaментaльных исследoвaний в естественных и гумaнитaрных нaукaх. В силу этoгo знaчение её в oбщей системе челoвеческих знaний пoстoяннo вoзрaстaет. Мaтемaтические идеи и метoды прoникaют в упрaвление весьмa слoжными и бoльшими системaми рaзнoй прирoды: пoлетaми кoсмических кoрaблей, oтрaслями прoмышленнoсти, рaбoтoй oбширных трaнспoртных систем и других видoв деятельнoсти. В мaтемaтике вoзникaют нoвые теoрии в oтвет нa зaпрoсы прaктики и внутреннегo рaзвития сaмoй мaтемaтики. Прилoжения рaзличных oблaстей мaтемaтики стaли неoтъемлемoй чaстью нaуки, в тoм числе: физики, химии, геoлoгии, биoлoгии, медицины, лингвистики, экoнoмики, сoциoлoгии и др.

Мaтемaтикa является не тoлькo мoщным средствoм решения приклaдных зaдaч и универсaльным языкoм нaуки, нo тaкже и элементoм oбщей культуры. Пoэтoму мaтемaтическoе oбрaзoвaние следуетрaссмaтривaть кaк вaжнейшую сoстaвляющую в системе фундaментaльнoй пoдгoтoвки сoвременнoгo специaлистa-гумaнитaрия.

В сoвременнoй экoнoмике мaтемaтические метoды выступaют в кaчестве неoбхoдимoгo инструментa, кoтoрые испoльзуются, в первую oчередь, при решении зaдaч экoнoмическoгo сoдержaния. К ним oтнoсятся зaдaчи нa вычисление слoжных прoцентoв, зaдaчи линейнoгo прoгрaммирoвaния, oптимизaциoнные зaдaчи. При решении зaдaч нa прoцентнoе oтнoшение учaщиеся знaкoмятся с тaкими экoнoмическими пoнятиями, кaк себестoимoсть, зaтрaты, прoизвoдительнoсть трудa, мaтериaлooтдaчa, рентaбельнoсть прoизвoдствa. Зaдaчи линейнoгo прoгрaммирoвaния ширoкo испoльзуются в oбoснoвaнии принятия хoзяйственных решений, связaнных с прoизвoдительнoстью трудa, oбъемaми и рентaбельнoстью прoизвoдствa. Oптимизaциoнные зaдaчи испoльзуются в экoнoмике для выбoрa oптимaльных экoнoмических решений, oсoбеннo этo вaжнo при рaспределении ресурсoв в тoй или инoй хoзяйственнoй деятельнoсти. Следует oтметить, чтo в экoнoмике испoльзуются не тoлькo мaтемaтический aппaрaт в связи с кoнкретными экoнoмическими прoблемaми, нo и oргaнизaция инфoрмaциoнных прoцессoв oбрaбoтки экoнoмическoй инфoрмaции.

Математика в профессии автомеханика .

Автомеханик – это рабочий широкого профиля, который выполняет операции по техническому обслуживанию и ремонту автотранспортных средств, контролирует техническое состояние автомобилей с помощью диагностического оборудования и приборов, управляет автотранспортными средствами. Расскажу немного об истории профессии «автомеханик».Первые самоходные коляски появились в XVIII веке в разных странах мира. В течение длительного времени они видоизменялись и совершенствовались. Но, как всякий механизм, они требовали ухода и ремонта в случае поломки. Этим могли заниматься только люди, хорошо разбирающиеся во внутреннем устройстве автомобиля. Так появилась новая профессия – автомеханик или автослесарь. Эта профессия позволяет увеличивать сроки эксплуатации автомобиля, осуществлять своевременную профилактику его функционального состояния, что обеспечивает безопасность дорожного движения. Виды деятельности профессии автомеханика:

1).Установление технического диагноза путем внешнего осмотра и инструментального контроля; 2).Своевременное и качественное проведение технического обслуживания автомобиля; 3).Осуществление ремонта автомобиля и его деталей.

Где именно при ремонте автомобиля пригодятся знания по математике?

1. Автомобильные фары.Для того чтобы зеркало фар отражало лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида вращения, внутри которого в определенной точке находится лампочка. Параболоид вращения – это поверхность, которая образуется при вращении параболы вокруг ее оси. В курсе алгебры мы изучали эту тему: График функции y=x2 и ее свойства.

2. Чтобы изготовить шестеренку надо окружность разделить на n-равных частей. С этой задачей мы встречались на уроках геометрии: научились при помощи циркуля , линейки и транспортира делить окружность на любое количество равных частей.

3. Для подбора поршней к цилиндрам вычисляют зазор между ними. Зазор определяется как разность между замеренными диаметрами поршня и цилиндра. Номинальный зазор равен 0,025-0,045 мм, предельно допустимый – 0,15 мм. Диаметр поршня измеряют микрометром в плоскости, перпендикулярной оси поршневого пальца, на расстоянии 51,5 мм днища поршня.

Математика в профессии бухгалтера.

Математика- это королева всех наук, краеугольный камень, на котором держится весь свод человеческих знаний. На знаниях математики основываются такие прикладные профессии, как бухгалтер или экономист, весьма востребованные в наше время. Бухгалтерия невозможна и нереализуема без применения математики.

Пачоли(Pacioli)Лука (1445-1517), итальянский математик. Рассматривал бухгалтерский учёт как частный случай прикладной математики. Современное общество, имея высокоразвитую систему товарно-денежных отношений, испытывает все возрастающую потребность в специалистах, выполняющих работу по бухгалтерскому учету. Слово «бухгалтер» немецкого происхождения: «buch» означает «книга», «halter» – «держатель». Человек этой профессии является не просто сотрудником в финансовом отделе предприятия или организации, это один из важнейших элементов, которые позволяют контролировать устойчивость и правильность механизма бизнеса. Математические методы в бухгалтерии включают в себя: 1)Научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей. 2)Математическую экономику; 3)Эконометрику; 4)Исследование операций.

Итог: Из математики бухгалтерский учёт позаимствовал одну из главных своих качеств-точность. Она необходима для выполнения расчётов. Бухгалтерия и математика, по сути, неразделимы. Не может быть никакой бухгалтерии без знания математики.

Математика в профессии банковское дело.

Первые ростовщики стали появляться еще в глубокой древности. Они давали своим соплеменникам в долг ценные вещи с обязательством вернуть их через некоторое время с процентами. После этого стали формироваться финансовые организации, которые выполняли разные операции с ценными предметами. Именно так зарождались банки. Банк — («banko» в переводе с итальянского языка означает «денежный стол»)- финансово-кредитная организация, производящая разнообразные виды операций с деньгами и ценными бумагами и оказывающая финансовые услуги правительству, юридическим и физическим лицам.

Работа в банковской сфере, связана с движением крупных денежных сумм, несет в себе опасность финансовых потерь.

  1. Практика.

  1. Повторение:

1. Выполните сложение:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Выполните вычитание:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Выполните действия:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Выполните умножение:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

5. Выполните деление:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) 24:; ж) ; з)

1. Выполните сложение:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Выполните вычитание:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Выполните действия:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Выполните умножение:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

5. Выполните деление:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з)

6. Решите уравнение

7. Решите уравнение

  1. Самостоятельная работа:

по теме «Квадратные уравнения и действия с дробями»

Вариант 1

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 2

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 3

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 4

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 5

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 6

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите:

Вариант 7

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 8

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 9

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

Вариант 10

  1. Решите уравнение

  2. Решите уравнение

  3. Решите уравнение

  4. Вычислите: .

  1. Подведение итогов:

Цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том. Чтобы углубить знания по изученым в среднй школе разделам и ознакомиься с некоторыми новыми разделами математики ( аналитической геометрией, теорией дифференциальных уравнений, теорией вероятностей, и др.), которые обогощают общую культуру, развивают логическое мышление и широко используются в математическом моделировании задач, с которыми встречается современный специалист в своей деятельности.

Задаваясь вопросом, какую роль играет математика в моей будущей профессии, юные умы должны понимать, что она будет везде, куда бы они ни ступили. Самостоятельно или же в симбиозе с другими науками она образует фундамент для новых свершений.

  1. Домашие задание:

  1. Чтение конспекта.

  2. Написать небольшой доклад на тему: « Математика в моей профессии».

  3. Решить задания:

1.Решите уравнение

2.Решите уравнение

3.Решите уравнение

4.Решите уравнение

5.Решите уравнение

6.Решите уравнение

7.Выполните умножение:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

8. Выполните деление:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з)

УМК по математике для обучающихся 1 и 2 курса и студентов 1 курса СПО


Всероссийский фестиваль педагогического творчества(2016/2017 учебный год)
Номинация: Педагогические идеи и технологии: профессиональное образованиеНазвание работы: Учебно – методический комплекс по дисциплине
Математика
Авторы: Матвеева Марина Валерьевна,
Гуляева Ольга Александровна
Место выполнения работы: ГБПОУ «Чусовской индустриальный техникум»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ПЕРМСКОГО КРАЯ
ГБПОУ «ЧУСОВСКОЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»
Рассмотрено
на заседании ЦК
Протокол №__________
От «____» ______________20__г.
Председатель ЦК
_______________________________ УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по УР
__________ Е.Ю. Ашихмина«___»___________20__г.
СОГЛАСОВАНО
Заместитель директора по НМР
_____________Е.А. Коновалова УЧЕБНО — МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ОП.01 МАТЕМАТИКА
Для профессий:
43.01.02 Парикмахер; 43.01.06 Проводник на железнодорожном транспорте;
19.01.17 Повар-кондитер; 38.01.02 Продавец, контролер-кассир; 08.01.05 Мастер столярно-плотничных работ; 15.01.30 Слесарь.ОДП.15 МАТЕМАТИКА
для специальности: 23.02.03. Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
ОДБ.06 МАТЕМАТИКА
для специальности: 44.02.01. Дошкольное образование
МАТЕМАТИКА
для специальности: 13.02.11. Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования
МАТЕМАТИКА
для специальности: 22.02.06 Сварочное производство
Разработали преподаватели
математики ГБПОУ «ЧИТ»
Матвеева Марина Валерьевна
Гуляева Ольга Александровна
Чусовой, 2015
СОДЕРЖАНИЕ
1. Пояснительная записка УМК 3
2. Выписка из ФГОС СПО 4
4. Методические указания (рекомендации) по выполнению всех видов самостоятельной работы 5
4.1. Перечень тем ВСР 28
4.2. Задания ВСР 31
4.3. задания для повторения и подготовки к экзамену 51
5. ФОС 53
5.1. Для текущего контроля 5.2. Для промежуточной аттестации 5.3. Для подготовки к экзамену 6. Литература 78
7. Мультимедиа и интерактивные материалы 79

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА УМК
Данный комплекс специально разработан для обучающихся ГБПОУ «ЧИТ» по профессиям рабочих/служащих среднего профессионального образования.
Целью его создания было сделать процесс изучения данной дисциплины ма

План-конспект урока по математике (10 класс) на тему: Поурочные разработки по дисциплине «МАТЕМАТИКА» 1 курс ТЕМА 1 РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. Урок № 1. ВВЕДЕНИЕ

Урок № 1.  ВВЕДЕНИЕ 

Тип занятия:

Введение

Вид занятия:

Аудиторное теоретическое занятие


Цели: 

Образовательные:

— сформировать основные представления о предмете;

Воспитательные:

— воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

— воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

— вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

Развивающие:

— формировать навыки познавательного мышления;

— формировать умения и навыки учебного труда.

Задачи:
1. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

План:

I. Организационный момент.

II. Новая тема:
«Введение»
1.Теоретическая часть.

III. Итог.
1. По вопросам.

Ход урока

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой и готовность преподавателя и обучающихся на урок. Сообщение цели и задач.

Теоретическая часть

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

2. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

Что такое математика.

При решении математической задачи человек имеет дело с ограниченным набором объектов, имеющих четкие отношения друг с другом. В жизни же, наоборот, их количество очень велико, а   отношения между ними достаточно размыты.

Первоначально математика брала, например, такие объекты из окружающей действительности, как числа и геометрические фигуры.  В отличие от физики эта точная наука изучает закономерности отношений, не зависящие от физического устройства этого мира. В ней утверждается, что из одних отношений объектов могут быть логически выведены другие отношения между ними.  Начальные свойства и способы логического вывода человек берет из жизни, воспроизводя разные ситуации с реальными объектами или представляя их умозрительно и обращаясь к своему опыту. Далее он использует только специально сформулированные понятия, образы, в том числе рисунки и правила вывода одних утверждений из других. Мышление, оторванное от понятий, доступных органам чувств, можно назвать абстрактным. Преобразование информации по четко определенным законам и без ошибок можно назвать строгим. Выводы, сделанные математикой, будут правильны в жизни, если исходная информация была верна. Другим путем, кроме как с помощью строгого абстрактного математического подхода, в сложных явлениях реального мира, особенно в технике, где много логических связей, зачастую нельзя получить точную информацию.

После четкой формулировки исходных свойств объектов и способа вывода из одних свойств других, процесс вывода можно формализовать, то есть свести к механическим преобразованиям информации. Но, чтобы решать задачи, нужен алгоритм, совершающий эти преобразования наиболее эффективным путем. Математик, в основном, обладает этим  методом наиболее быстрого решения задач, но его алгоритм не формализован и в большой степени  основан на методах и рефлексах, заложенных от природы или выработанных в процессе реальной жизни. Поэтому составление такого алгоритма — задача нетривиальная.

Зачем она нужна:

1.      Для прикладных нужд: техники, физики, химии, биологии, программирования и т.д. Кроме того, одни области математики нужны для других.

2.      Для знания, точного установления фактов, чтобы было меньше неизвестного, неясного и чтобы все могли пользоваться этими знаниями. Для воспитания дисциплины мышления и мыслительных способностей. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, так как эта наука уже абстрактна и строга, кроме того, исходная информация математической задачи доступна, ограничена и неизменна в отличие от ситуации в жизни.

3.      Для получения такого же удовлетворения, как от игры или любого интересного дела. Математика привлекательна в этом отношении своей содержательностью, сложностью, строгостью построений, общностью выводов, простотой и неожиданностью результатов.

Как ей заниматься:

1.      Формировать способность удерживать в голове образы, оперировать с ними — находить взаимосвязи, производить изменение этих объектов — добавлять и убирать объекты, менять их положение. То есть в голове создается картинка, которую человек рассматривает, в этом и заключается процесс мышления. Она  может начать расплываться в силу несовершенства внимания человека.

2.      Формировать языки определяемых понятий, слов и словосочетаний их обозначающих; символьные языки — формул и высказываний, язык образов, рисунков, наиболее эффективные для исследуемой области математики. Понятно, что определяемые понятия должны быть строго определены, непротиворечивы, часто применимы к изучаемым объектам, в их терминах формулировка свойств должна упрощаться. Их словесные названия и связывающие словосочетания (например, “пересекающиеся прямые”) должны быть удобны для восприятия смысла. Язык символов позволяет компактно и строго производить громоздкие преобразования на бумаге. При этом меньше нагружается понятийное и образное мышление, используемое при решении задач в уме. На основе выбранных понятий, наработанных методов и доказанных теорем строится язык образов, который позволяет человеку очень быстро в уме оперировать информацией в данной области.

3.      Делать эквивалентные преобразования, приводящие информацию к наиболее простому виду. Это, своего рода,  процесс ее «причесывания» — обобщение, выявление сути, выбрасывание кусков, легко выводимых из остающихся данных. При преобразованиях с потерей информации оставляется самое существенное, важное, с большей вероятностью или с меньшими затратами, ведущее к результату. Полезно запомнить или записать в самом сжатом виде полученные данные, чтобы потом их можно было легко восстановить полностью. Можно также применять классификацию, чтобы сжать информацию и  облегчить ее использование.

4.      Четко фиксировать (на бумаге или в голове) и последовательно прорабатывать все возникающие вопросы и идеи.

5.      Экономить критичные ресурсы, которыми могут быть — время, объем внимания, память, использование не развитых в данном человеке способностей. Для этого можно сначала заниматься наиболее простыми и с большей вероятностью приводящими к результату направлениями.

6.      Использовать вспомогательные предметы, помогающие исследовать математические объекты — например, геометрические фигуры, механические модели, рисунки, записи на бумаге, чтобы разгрузить память и внимание. Можно воспользоваться компьютером  для решения переборных задач,  визуального отображения объектов, возможно, в будущем — для решения любой задачи.

7.      До конца разобраться в каком-то вопросе, добиться полной строгости, чтобы потом на это опираться. На этом шаге ресурсы не экономятся, но это приводит к большой их экономии впоследствии. Часто нельзя решить задачу просто, а нужно до конца  исследовать сложные объекты.

8.      Использовать нечеткие образы для понятий, методов, планов дальнейшего исследования. В них могут быть неопределенные места и они, иногда, с трудом выражаются словами. Тем не менее, с этими образами не так сложно оперировать. По ходу дела они могут конкретизироваться. Мышление такими представлениями дает мощный и быстрый метод исследования.

9.      Создавать новую обширную теорию для изучения какого-то одного вопроса. Она может быть сильно не похожа на исходную задачу.

10.  Создавать систему теорем, способов представлений объектов, методов (алгоритмов) решения задач, теорий, позволяющих быстро решить наиболее широкий круг задач, затрачивая минимальное количество критичных ресурсов.

11.      Сочетать вышеперечисленные методы, зачастую взаимоисключающие друг друга. Например, можно добиваться строгости в мелочах сразу по ходу рассуждений, полного представления в голове взаимосвязи объектов при сложной картине, развивать новые способности, новые методы и области математики, а можно производить длинную цепочку предположений, нечетко определять рассматриваемые ситуации, стараться решить задачу простыми методами,  уходя от сложных операций с помощью того, что уже есть. Эти методы человек чередует в оптимальной для него последовательности. Если мышление расплывается, не удается давать четкие доказательства, то можно придумать цепочку простых задач с возрастающей сложностью и последовательно, до конца, в них разобраться.

2. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

Математические знания призваны сыграть важную роль в процессе дальнейшего обучения. Они понадобятся для успешного изучения общетеоретических и специальных предметов специализации.

В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных технических и технологических задач. После окончания колледжа не раз столкнетесь с необходимостью применить свои математические знания в практической деятельности.

Курс математики призван создать прочные навыки логического мышления, столь необходимые каждому специалисту.

Изучение курса математики откроет возможность усвоить основы математической науки. В результате дальнейшего совершенствования и расширения своих математических знаний в будущем можно самостоятельно изучить близкие к своей специальности математические работы отечественных и зарубежных специалисто